Akademik

Ricatti denkleminin çözülebilir bir alt sınıfı

$p(x), q(x),f(x)$ fonksiyonları $\mathbb{R}$'nin keyfi bir kapalı aralığında sürekli fonksiyonlar olmak üzere Ricatti Denklemi ;
\[y'+p(x)y+q(x)=f(x)y^2\] şeklinde diferansiyel denklemdir.
Ricatti Denkleminin ilgi çekici yanı genel çözümünün olmayışıdır. Bu yüzden $p(x), q(x),f(x)$ fonksiyonlarına çeşitli şartlar eklenerek (örneğin $q(x)=0$ için bir Bernoulli Denklemine dönüşür.) Ricatti denkleminin çözülebilir sınıfları aranmaktadır. Bizde bu çözülebilir alt sınıflarından birini inceleyeceğiz.


$p,q,r\in \mathbb{R}$ olmak üzere  $y'+\frac{p}{ax+b}y+\frac{q}{(ax+b)^2}=ry^2$
şeklinde özel bir Ricatti Denklemini göz önüne alalım. Şimdi bu denkleme $y=\frac{u}{ax+b}$ yerine koyması yapalım.
\[y'=\frac{(ax+b)u'-au}{(ax+b)^2}\] olup denklemde yerine yazdığımızda
\[\frac{(ax+b)u-au'}{(ax+b)^2}+\frac{p}{(ax+b)^2}u+\frac{q}{(ax+b)^2}=r\frac{u^2}{(ax+b)^2}\]
elde ederiz. Şimdi düzenlemeleri yaparsak
\[(ax+b)u'+(p-a)u+q=ru^2 \]
\[(ax+b)u'=r\bigg(u^2+(\frac{a-p}{r})u-\frac{q}{r}\bigg) \]
\[\frac{du}{u^2+(\frac{a-p}{r})u-\frac{q}{r}}=\frac{r}{ax+b}dx\]
şeklinde değişkenlerine ayrılmış diferansiyel denkleme dönüşür.


Örnek:
 $a,b,c$ keyfi sabitler olmak üzere
  \[x^2y'=ax^2y^2+bxy+c\]
  denklemini, değişkenleri ayrılmış defiransiyel denkleme dönüştürelim.

Çözüm:

Verilen denklemi düzenlersek
\[y'-\frac{b}{x}y-\frac{c}{x^2}=ay^2\]
olup yukarıda bulduğumuz sonuca göre;
    $a=1,\quad b=0,\quad p=-b,\quad q=-c,\quad r=a$
olduğundan
\[\frac{du}{u^2+(\frac{1+b}{a})u+\frac{c}{a}}=\frac{a}{x}dx\]
şeklinde değişkenleri ayrılmış diferansiyel denkleme dönüştürürüz.




Ricatti Diferansiyel denkleminin genel çözümünün olmayışı biz Matematikçileri yıldırmamış olsa gerek ki  Ricatti  Denklemi ile ilgili araştırmalar sonlanmış değildir. Çeşitli şartlar koyarak (yukarıda bizim koyduğumuz şart gibi) Ricatti Denkleminin çözülebilir alt sınıflarının araştırılmasının devam ettiğini bildirmek isterim..